Fortgeschrittene Zahlentheorie in Corona-Zeiten (SS
2021)
- Video Kurs -
Dozent: O. Bräunling
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Neuigkeiten:
- Der Kurs ist abgeschlossen. Ich hoffe, dass es Spaß gemacht hat.
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Diese Vorlesung entwickelt die Zahlentheorie auf Grundlage der Algebra
und Zahlentheorie Vorlesung weiter. Sie ist unabhängig von der Vorlesung
Algebraische Zahlentheorie, d.h.
man kann beide Vorlesungen (in beliebiger Reihenfolge) hören, oder auch nur eine
davon.
Grundkenntnisse in der Funktionentheorie wären wünschenswert, aber wir
benötigen nur wenig und können dies bei Bedarf auch einflechten (oder man hört
es parallel). Es wird viele Querverbindungen zu anderen Vorlesungen geben
(Riemannsche Flächen, Algebraische Kurven, Algebraische Zahlentheorie,
Kommutative Algebra... und auch wenn keine der genannten Vorlesungen eine
Vorbedingung für diese Vorlesung ist, so wird es sehr hilfreich sein, wenn man
wenigstens eine dieser Sachen schonmal gehört hat.)
Ausgangspunkt der Vorlesung ist das Problem, für gewisse Gleichungen ganzzahlige
oder rationale Lösungen zu finden, also z.B. die Frage: Sei n>1. Welche
rationale Zahlen x,y,z lösen die Gleichung
xn + yn = zn.
Diese Ausgangsfrage ist fast identisch zum Ausgangsproblem der Vorlesung
Algebraische Zahlentheorie, allerdings werden wir die Fragestellung mit
völlig anderen Methoden angehen. Auf dem Weg dahin werden wir elliptische
Kurven, p-adische Methoden, Modulformen und Galoiskohomologie kennenlernen.
Außerdem werden uns eine Reihe bislang ungelöster mathematischer Probleme
begegnen, und einige, die erst in den letzten 30 Jahren gelöst wurden.
Kurze Übersicht:
Wegen Covid-19 wird der Kurs über Videos laufen.
Ich werde die Vorlesung in "Wochen" einteilen und dazu gibt es jeweils Videos
und weiteres Material. Diese Videos entsprechen nicht "einer Vorlesung", sondern
eher einzelnen Themen. Sie sehen es weiter unten ja selbst. Dies macht es leichter beim Nachlernen
Themenblöcke gezielt zu finden.
Wir benutzen in diesem Kurs ein (Online-)Computer-Algebra
System, und zwar SAGE/CoCalc.
Keine Sorge: Sie müssen keine Software installieren und Sie
müssen nicht programmieren können. Man kann SAGE über den
Webbrowser laufen lassen. Ich erkläre alles, was man
wissen muss, in den Videos. Ein kleines Tutorial zu Sage ist auch jetzt schon
weiter unten bei den Videos zu finden, falls Sie vielleicht schon jetzt etwas
experimentieren wollen:
- SAGE/CoCalc läuft (ohne Notwendigkeit für einen Account) einfach im Webbrowser:
https://www.cocalc.com
Sie können, falls Ihre
Internet-Verbindung manchmal unterbrochen ist und daher das Arbeiten im
Webbrowser nicht zuverlässig funktioniert, SAGE auch herunterladen und
offline benutzen: https://www.sagemath.org/download.html
Dennoch ist die Benutzung im Webbrowser insgesamt angenehmer, vermute ich.
Auch wenn es das auf den Webseiten auch gibt: Sie benötigen KEINEN Account, und erst recht keinen
kostenpflichtigen Account.
- In unserer Materialsammlung weiter unten finden Sie auch "Sage
Worksheets". Diese ---.sagews Dateien sind mehr oder weniger einfach Textdateien (sie können die
Datei-Endung einfach zu .txt ändern und sehen es ja dann selbst). Dies sind die
Skripte, die in den Videos vorkommen, für den Fall, dass Sie selbst etwas
experimentieren möchten (was ich sehr hoffe) und den Krempel nicht aus den
Frames im Video abtippen wollen.
Video-Vorlesungen:
Woche 1:
Woche 2:
Woche 3:
Woche 4:
Woche 5:
Woche 6:
- Kurven von kleinem Grad
https://youtu.be/Z73DHE5Q9lI
Ich war leider etwas unkonzentriert bei dem
Video.
Daher zahlreiche Korrekturen:
- Die Diagonalform für Kurven von Grad 2 ist nur
für Körper von Charakteristik ungleich 2 in dieser Form verfügbar (also kein
Problem wenn wir uns für rationale Punkte interessieren)
- Ich zeichne einen Punkt, der singulär sein
soll, in der Skizze an eine Stelle, wo "rein optisch vom Bild her" keine
Singularität ist und als mir das später auffällt, zeichne ich eine
Singularität, von der wir schon wissen, dass es ein Doppelpunkt ist, als
etwas, was definitiv nicht wie ein Doppelpunkt aussieht. Oje, oje. Völlig
durcheinander. Die Mathematik ist soweit okay, aber bitte beachten Sie, dass
die Skizzen nicht so aussehen, wie die Singularitäten wirklich
aussehen würden.
- Zu 1:24:15 Die Identifikation P1 mit der
(singulären!) Kurve C ist kompletter Quatsch. Korrekt ist: Wenn wir den
singulären Punkt aus C entfernen, DANN lässt sich C - P = P1 - {die Punkte,
die zu Tangentengeraden an P korrespondieren} identifizieren. Da wir nur
endlich viele Punkte aus P1 löschen, folgt damit aber natürlich weiterhin,
dass wir unendlich viele rationale Punkte auf C - P (und damit C)
produzieren können. Aber auch um z.B. C als topologischen Raum zu verstehen,
bekommen wir hier nur, dass C - P wie ein Sphäre mit entfernten Punkten
aussieht.
[Nachtrag aus Woche 11: Ich habe in Woche
11 im Video zu guter und schlechter Reduktion (Gute Zeiten, schlechte
Zeiten) die Situation nochmal mit vielen Details neu erklärt]
- Das Gruppengesetz auf Kurven von Grad 3
https://youtu.be/6rhKG5jCLx0
Zusatzmaterial: Der Satz von Cayley-Bacharach für Kurven von
beliebigem Grad und andere geometrische Anwendungen
https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Cayley-Bacharach
- Riemannsche Flächen I
https://youtu.be/r7qC4yTfB-Y
Woche 7:
- (optional)
Funktionentheorie im Schnelldurchgang
https://youtu.be/a8NW4DEYWQw
Wer die ganzen Sätze à la Cauchy
Integralsatz, Residuensatz, Umlaufzahl, Liouville etc. schon kennt, kann
dieses Video easily überspringen
Das Beispiel f(z)=-z^2 bei 1:05:25 ist nicht so
geschickt gewählt, siehe Videobeschreibung für ein besseres Beispiel.
- Affine und projektive Kurven als Riemannsche Fläche I (holomorphe
implizite Funktionen)
https://youtu.be/xN22aX3NURU
- Affine und projektive Kurven als Riemannsche Fläche II (Konstruktion der
komplexen Struktur)
https://youtu.be/Atzufl-KpHo
- Funktionsbegriffe und ein paar Worte zu Kategorien und Funktoren
https://youtu.be/gDmLsl94_50
Der
Begriff von Funktor, den ich hier erkläre, wird manchmal auch als
kovarianter Funktor bezeichnet. Die Verwendung der opposite category
ermöglicht es dann, das Konzept "kontravarianter Funktor" F : C -> D (was
man vielleicht aus anderen Veranstaltungen kennt) stattdessen als
(kovarianten) Funktor F : C^op -> D zu formulieren, so dass man keine eigene
Theorie für kontravariante Funktoren aufsetzen muss und alles auf den
kovarianten Fall zurückführt. Tut man dies, kann man die dann einfach
Funktor nennen und die Begriffe kovariant/kontravariant sind dann nicht mehr
notwendig als Unterscheidungsmerkmal.
Woche 8:
- Weierstraß-Form und j-Invariante
https://youtu.be/Pi2QBdk9Ke8
- Kubische Kurven mit dem Computer (SAGE)
https://youtu.be/0DSEhzMO3h0
Völlig optionales (und wahrscheinlich momentan nicht wirklich
verdaubares) Material zu hohen Rängen:
...(wie im Video schon angesprochen) im Funktionenkörper-Fall
ist der Rang bewiesenermaßen beliebig hoch,
https://arxiv.org/pdf/math/0109163.pdf
...und aktuelle Resultate (von 2020) zum Thema hoher Rang
über Q bei zudem vorgeschriebenem Torsionspart,
https://arxiv.org/pdf/2003.00077.pdf
und wie auch beschrieben, gibt es auch Leute, die doch eher
vermuten, dass der Q-Rang beschränkt sein könnte... naja...also
Forschungsfragen halt...
- (optional)
Elliptische Funktionen I
https://youtu.be/qpe0yckfDOo
Für manche bestimmt bereits aus der
Funktionentheorie-Vorlesung bekannt.
Woche 9:
- Riemannsche Flächen II
https://youtu.be/ByQkRbCeSbI
Milne Lecture Notes zu Modular Forms
(siehe ILIAS) oder der Webseite von James Milne
- (optional)
Elliptische Funktionen II
https://youtu.be/7k-1LBpbWgk
Für manche bestimmt bereits aus der
Funktionentheorie-Vorlesung bekannt.
Dieses Video ist
unglaublicherweise 2 Stunden lang geworden. In der Evaluation wurde betont,
dass so lange Videos nicht so gut sind. Aber der Informationsgehalt ist
wirklich ziemlich dünn, man kann es bestimmt auf 4x Speed schauen.
Woche 10:
Woche 11:
- Alle Tori sind nicht-singuläre kubische Kurven
https://youtu.be/mzNMmd2CTrs
- Alle nicht-singulären kubischen Kurven sind Tori
https://youtu.be/j4hn7RZ7Iik
- Gute Zeiten, schlechte Zeiten
https://youtu.be/6-EZz5QKu4k
- Multiplikation mit n, Teil 1
https://youtu.be/PdTQHgfrq2U
Hier geht es um den Kern der
Multiplikation mit n über algebraisch abgeschlossenen Körpern (also
Torsionspunkte im Gruppengesetz)
- Multiplikation mit n, Teil 2
https://youtu.be/P0WqxoAjVsc
Hier geht es um das Bild der
Multiplikation mit n über algebraisch abgeschlossenen Körpern
- Multiplikation mit n, Teil 3
https://youtu.be/iPuAJCFH5z4
Hier geht es um Multipikation mit n
über p-adischen Körpern
- Multiplikation mit n, Teil 4
https://youtu.be/y4vFx6a5nWE
Hier geht es weiter um Multiplikation
mit n über p-adischen Körpern
- Gruppenkohomologie
https://youtu.be/fk4MzGvWOe4
Im Buch von Milne wird
Gruppenkohomologie ganz elementar mit expliziten (aber so per se völlig
enigmatischen mysteriösen) Definitionen eingeführt. In der Vorlesung werde
ich stattdessen der Blickwinkel als rechtsderivierten Funktor verwenden
(Gruppenkohomologie ist ein Spezialfall des Ext-Funktors). Beide Zugänge
entwickeln natürlich die gleiche Theorie, d.h. Sie können auswählen, welchen
Zugang Sie für sich persönlich bevorzugen.
Nur für Toplogie-Interessierte: Es gibt noch
einen dritten Blickwinkel über Topologie: Dort betrachten man zur Gruppe G
den klassifizierenden Raum BG (a.k.a. Eilenberg-Mac Lane Raum K(G,1)) und
G-Moduln M können als Darstellung der Fundamentalgruppe, also G selbst,
aufgefasst werden. Damit definieren sie ein lokales System auf BG und die
Kohomologie H^n(BG, M) stimmt ebenfalls mit Gruppenkohomologie, sowohl wie
bei Milne als auch über den Ext-Funktor, überein.
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Oliver Bräunling
FH DORTMUND
University of Applied Sciences and Arts
Emil-Figge-Strasse 42
D-44227 Dortmund
Germany