Algebraische Zahlentheorie (WS 2022/23)
Dozent: O. Bräunling
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Kurze Übersicht:
Die Algebraische Zahlentheorie ist einer der Grundpfeiler
der modernen Zahlentheorie.
Ausgangspunkt ist die Frage, wie man Gleichungen löst, bei denen die Variablen
nur ganzzahlige oder rationale Werte annehmen können.
Die Techniken dafür sind völlig anders gelagert als in der Analysis. Tatsächlich
ist es sehr schwierig (und in einem gewissen Sinne beweisbar unmöglich) einer
allgemeinen solchen Gleichung anzusehen, wie viele ganzzahlige Lösungen sie
besitzt. Dennoch entwickelt sich eine sehr spannende Theorie. Eine fundamentale
Idee liegt darin, statt in den gewöhnlichen Ganzzahlen Z in
größeren Ringen zu rechnen (und dann von dort auf das Originalproblem
zurückzuschließen). Geht man zu diesen größeren Ringen über, ändert sich
allerdings die Menge der Primzahlen. Schlimmer noch, mitunter (aber nicht
immer!) scheitert die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung.
Einerseits kann man dann aber beweisen, dass dieses Scheitern der Eindeutigkeit
stets nur "endlich schlimm" ist. Mehr noch: Rechnet man mit Idealen in
Dedekindringen (wir werden lernen, was dies ist) statt Elementen, so bleibt die Eindeutigkeit der Zerlegung stets
erhalten.
Andererseits gibt einem die Theorie in jedem Fall starke Strukturen, Lösungen zu finden, die
mit einer naiven Computersuche schwierig (oder früher gar völlig unmöglich)
wären. Die kleinste Lösung von
x2 - 61y2 = 1
in positiven Ganzzahlen ist beispielsweise
x = 1766319049, y = 226153980.
Dies war in der indischen Schule der Zahlentheorie zwar schon sehr lange vor der
Entwicklung der modernen Algebraischen Zahlentheorie bekannt, aber die Methoden,
solche Lösungen schnell und effizient zu finden, wurden in der modernen Theorie
revolutioniert und wesentlich erweitert.
Wir benutzen in diesem Kurs ein (Online-)Computer-Algebra System, und zwar SAGE/CoCalc. Keine Sorge: Sie müssen keine Software installieren und Sie müssen nicht programmieren können. Man kann SAGE über den Webbrowser laufen lassen. Ich erkläre alles, was man wissen muss, in der Vorlesung.
Wann und wo?
Di 8-10, Saal G.13.18 (sorry, dass es so
früh ist!)
Do 14-16, Saal G.13.18
Skript
Wir werden grob (also nicht wortgleich) dem
großartigen Skript von René Schoof folgen (an dieser Stelle nochmal vielen Dank,
dass wir das benutzen dürfen!)
Skript (von René Schoof)